Николай Закуренков родился 17 декабря 1906 года в деревне Малые Столбища Веретейской волости в семье крестьянина-середняка. Мать с детьми (в семье было два сына и дочь) жила в деревне и занималась сельским хозяйством. Отец Кузьма Ефимович находился на отхожем промысле – работал в Петербурге сортировщиком и упаковщиком яиц в порту. После окончания Веретейской школы Николай четыре года пас скот, а затем – сдельная работа  на Волге и Мологе разгрузчиком барж с солью, дровами и бревнами.  В 1925 году Закуренков уезжает в Ленинград, где поступает на работу в ресторан Первого товарищества чернорабочим и работает там до призыва в Красную Армию. Призывается в армию в 1928 году и направляется в 1-й полк связи в Москву.

Там заканчивает полковую школу, а осенью поступает в училище им. ВЦИК, находившуюся в Кремле. Училище Николай заканчивает досрочно – 1 марта и назначается командиром стрелкового взвода во второй стрелковый полк Московской Пролетарской стрелковой дивизии, в которой прослужил до 1 сентября 1939 года, дослужившись до помощника начальника штаба полка. В сентябре назначается начальником штаба 69-го стрелкового полка 126-й стрелковой дивизии, которая в то время защищала дальневосточные границы СССР. За службу по охране границ Н. К. Закуренков получает первый орден Красной Звезды. В 1940 году он получает назначение на должность начальника штаба 262-го стрелкового полка 184-й стрелковой дивизии, брошенной на освобождение Западной Белоруссии. Здесь его и застигает война. 1941 год – военные действия в Волоколамске и разгром немцев под Москвой. В 1943 году участвует в защите Новороссийска. В январе 1944 Николай Кузьмич Закуренков получает звание генерал-майора и принимает командование 32-й гвардейской (Таманской) стрелковой дивизией. Это были одни из самых славных страниц истории Великой Отечественной войны – взятие Керчи и штурм Сапун-горы (позже об этих событиях он напишет книгу «32-я гвардейская»).  После окончания академии Генерального штаба имени К. Е. Ворошилова генерал-майор Закуренков становится военным советником при командующем 1-й Болгарской армией в городе София. С января 1950 года – военный советник при командующем 3-им военным округом Румынской народной армии в городе Клуж. Затем опять СССР и командование несколькими корпусами, а также служба в качестве советника при командующем 1-й Чехословацкой народной армией. С июля 1959 года до ноября 1960 года – зам. начальника штаба Краснознаменного Одесского военного округа. Увольняется в запас и ведет активную общественную работу. Награжден 9-ю орденами (тремя Красной Звезды, двумя Красного знамени, двумя Суворова, одним Ленина и одним Кутузова)  и 24-мя медалями. Умер в 1980 году. Похоронен в Одессе.